Giuseppe Conte è stato nel 2013 il legale della famiglia di Sofia, una bimba di Livorno affetta da leucodistrofia metacromatica, malattia degenerativa terminale che porta a progressiva paralisi e cecità. Come avvocato si era battuto affinché la piccola potesse seguire il protocollo di cura Stamina che prevedeva l'uso di cellule staminali. Il trattamento della bambina aveva subito diverse interruzioni, dopo l'apertura di alcune inchieste della magistratura sulla Stamina Foundation, nonostante i genitori avessero parlato di un sensibile miglioramento delle sue condizioni e si fossero battuti per farle proseguire la cura. Il protocollo era stato contestato anche dal ministero della Salute e dall'Agenzia italiana del farmaco, l'Aifa, e bollato come "dannoso".
Conte era stato particolarmente duro con la giustizia e con gli stop della cura imposti alla famiglia: "I tempi della malattia di Sofia e l'accelerazione da questa impressa non si confanno ai distinguo dei responsabili sanitari e ai tempi richiesti dalle verifiche giudiziarie in corso. Chiedo a tutte le Autorità e a tutti i Responsabili sanitari, come pure a tutti i nostri interlocutori in questa drammatica vicenda di assumersi la responsabilità - in scienza e coscienza, e ciascuno per quanto di sua competenza - di assicurare a Sofia il celere completamento del trattamento terapeutico già iniziato". Conte appariva anche tra i promotori della fondazione 'Voa Voa', dal titolo del libro scritto dalla madre di Sofia, una fondazione creata durante il caso Stamina per sostenere la "libertà di cura". La fondazione, promossa dall'attrice Gina Lollobrigida, aveva tra i primi beneficiari proprio la Fondazione Stamina di Vannoni. La piccola Sofia, divenuta simbolo della battaglia per l'accesso al metodo Stamina ideato da Davide Vannoni, è morta il 31 dicembre 2017.